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2025年5月16日，当代最伟大的数学家之一彼得•拉克斯（Peter Lax, 1926.05.01−2025.05.16）走完了他长达九十九年的辉煌一生。他同样漫长的学术人生，以匈牙利数学神童起步，十五周岁逃脱纳粹铁蹄，与哥哥随父母跨越大西洋抵达美利坚，读大学时把青春和才华献给了二战中研制原子弹的曼哈顿工程，十八周岁在《美国数学会通报》（Bulletin of the American Mathematical Society）发表了第一篇学术论文，战后在美国应用数学的中心——纽约大学创立的数学科学研究所工作，成长为美国纯粹数学和应用数学界的两栖领袖人物。

近十年前笔者参加一次美国数学会地区性会议时，看到书展中由数学会新近出版的拉克斯传记，书名是Peter Lax, Mathematician（《数学家彼得•拉克斯》），马上就买下，并很快读完了它，对拉克斯直到那时近九十年的一生经历钦佩至极。这实际上是一本图文并茂的“插图回忆录”，正如该书的副标题“AnIllustrated Memoir”所云。书的封面印上了一张拉克斯的彩色照片，他站在大黑板前的讲台后，头颅微微上扬，左手翻开一本大书，其数学家的独特气质与自信神态充分显露。写书人赫什（Reuben Hersh）仅比拉克斯小一岁半，却是后者的博士研究生。由于他们的年龄几乎一样大，读者可能会以为赫什一定是拉克斯早期的弟子，倘若不是第一个的话。事实却是，这名学生为导师门下的第十一个博士！拉克斯的首位博士研究生米尔顿•罗斯（Milton Rose）于1953年出炉，那年导师还只是个二十七周岁的小伙子，而我们这些拿到过一纸博士学位证书的人，许多在二十七岁时还没有写出博士论文呢，包括笔者自己。赫什于1963年获得博士文凭时已经是三十五周岁了。

如果以为晚戴博士帽子的赫什是个“等闲之辈”，那又陷入“先入为主”的印象了。维基百科中介绍他的条目以这句话开头：“鲁本•赫什是一位美国数学家和学者，因其关于数学的性质、实践和社会影响的著作而闻名。”这对一名数学家是难得的称赞。他能被如此定位，重要原因之一是他在学生时代就获得了极好的人文训练。一个事实是，他于1946年，也就是说在他还没有跨入十九周岁门槛的时候，就已经拿到哈佛大学的英国文学学士学位。赫什曾花十年工夫为《科学美国人》杂志撰稿，并担任过一名机械师。在使用带锯时不幸失去了右手拇指后，赫什决定在纽约大学柯朗数学科学研究所（当时叫数学与力学研究所；1964年改为现名）学习数学，并拜拉克斯为师撰写了博士论文。从1964年起直至退休，他一直在新墨西哥大学数学系任教。

维基百科的赫什条目第三句是：“他的工作对主流数学哲学提出了挑战，同时也对其进行了补充。”撇开赫什的专业研究不谈（其涉及的领域包含他博士导师的拿手好戏偏微分方程，以及概率论、算子方程、随机过程等），赫什范围广泛的数学人文作品中，最著名的当数1981年他与戴维斯（Philip J. Davis）合著的《数学经验》（The Mathematical Experience），该书获得了国家科学图书奖。两年前笔者读过它，读得有几周夜晚不想上床就寝，可见它对阅读者有多大的吸引力。

现在，我们就从拉克斯的祖国开始，沿着他走过的数学之路，琢磨他留下的深深脚印，了解他将理论与应用相结合波澜壮阔的实践史，赞叹这位纯粹数学、应用数学和计算数学“三驾马车”的数学家驭手。

匈牙利数学神童

欧洲近代史中，匈牙利这个小国，在拉克斯出生前的半个世纪内，诞生了一大批二十世纪的世界杰出人士。他们当中最为中国读者熟知的有空气动力学家冯•卡门、数学家波利亚和冯•诺伊曼、物理学家西拉德（Leo Szilard）和魏格纳、化学家德•赫维西（Georgede Hevesy）以及经济学家哈萨尼（John Harsanyi）。这些智者常常被称为“火星人（The Martians）”,该术语首创于西拉德的一句半开玩笑话，所借代的是二十世纪上半叶从欧洲移民到美国的那些卓越的匈牙利犹太裔科学家，尤指数学家和物理学家。

2001年，匈牙利物理学家兼科学史家马克斯（György Marx），在其专写匈牙利科学家的母语著作《火星人的声音》（The Voice of the Martians）中，直接将“火星人”放进了标题。他在书中写道：

“宇宙浩瀚无垠，包含着无数的恒星……很可能还有行星围绕着它们运转。……最简单的生物会不断繁衍，通过自然选择进化，变得更加复杂，最终出现活跃且具有思维能力的生物。……他们渴望新的世界……他们应该遍布整个银河系。这些才华横溢的人们很难忽视像我们地球这样美丽的地方。——‘那么，’费米提出了他那个令人难以抗拒的问题：‘如果这一切一直在发生，他们现在应该已经到达这里了，那么他们在哪里？’——利奥•西拉德，一个有着顽皮幽默感的人，对费米悖论给出了完美的解答：‘他们在我们中间，’他说，‘但他们自称匈牙利人。’”

笔者读过的冯•诺伊曼独女、经济学家玛丽娜•诺伊曼（Marina von Neumann）于2012年出版的书《火星人的女儿：回忆录》（The Martian's Daughter：A Memoir），也用“火星人”借代了她的数学家父亲。如今“火星人”几乎已成那些匈牙利科学家之英名的代名词。令本文值得写作的一个事实是，在维基百科中列出的有名有姓的十九个火星人中，拉克斯榜上有名，其中比他年轻的只有两位，最年轻的比他仅仅小了三岁；这位现龄九十六周岁的老寿星名叫波拉尼（John Polanyi），是1982年沃尔夫化学奖、1986年诺贝尔化学奖得主，在北美洲两个大国的研究重镇都任教过。

在近、现代数学史上，匈牙利最传奇的数学家是非欧几何的创始人之一亚诺什，他被匈牙利人视为民族英雄，就像拉马努金被视为印度的象征一样。十九世纪的这位孤独的数学英雄引出了二十世纪匈牙利数学天空的群星灿烂，这部分是由于数学家阿拉尼（Dániel Arany）在1894年创立的《中学数学杂志》（The Mathematics Journal for Secondary Schools），其中包含一栏“问题征解”，它激励了许多少年数学爱好者向未来数理学家的目标挺进；也部分得益于所谓的“厄特沃什竞赛”（Eötvös Competition），它以精确测量了地球引力而闻名于世的匈牙利杰出物理学家厄特沃什（Loránd Eötvös）的名字命名。一百年前这个竞赛的优胜者中涌现出了一大批杰出的数学家，被称为“匈牙利奇迹”。他们当中有泛函分析名家黎斯兄弟二人弗里杰斯（Frigyes Riesz）和马塞尔（Marcel Riesz）、合作者分析数学家二人波利亚和赛格（Gábor Szegő)、布达佩斯大学的首位犹太人数学教授利费耶尔（Lipót Fejér），学过傅里叶级数的人都应记得费耶尔的大名。自然冯•卡门和冯•诺伊曼也在这个名单当中。对他们深有影响的匈牙利数学家柯尼希（Gyula Kőnig），是德国数学家克罗内克（Leopold Kronecker）的弟子。他的儿子戴尼斯（Dénes Kőnig）被认为是图论之父，是世界上第一本图论著作的作者，在纳粹德国占领匈牙利之后对前景绝望而跳楼身亡。

二十世纪最著名的“火星人”或许是冯•诺伊曼，比他早一年进了同一所培养精英的路德教会高级中学的另一个“火星人”、1963年诺贝尔物理奖得主魏格纳颇为自卑地这样谈论他的同胞：“不管多么聪明的人，和冯•诺伊曼一起长大就一定会有挫败感。”美国原子弹研制计划理论部主任、1967年的诺贝尔物理奖获得者、康奈尔大学的德裔教授贝特（Hans Bethe）甚至如此感叹：“有冯•诺伊曼这样的大脑是不是意味着存在比人类更高一级的生物物种？”这恐怕是“火星人”说法的一个等价版本。

冯•诺伊曼于1903年降生于匈牙利首都布达佩斯一个富有的银行家之府。时间过了近二十三年，又一个“火星人”降落到同城一对也很富有的医生之家。这个男孩名叫彼得•拉克斯，有个哥哥叫约翰（John Alexander Lax），长大后成了一位名气不及弟弟但很有文学素养的物理学家，也擅长翻译。他们的父亲亨里克•拉克斯（Henrik Lax）与母亲克拉拉•科恩菲尔德（Klara Kornfield）都是内科医生，年轻时彼此相识于共同就读的医学院，父亲之后成为名震一方的医学专家，治疗过的社会名流病人包括出生于匈牙利的有名剧作家莫尔纳尔（Ferenc Molnár）和瑞典女演员嘉宝（Greta Garbo）；前者早拉克斯一年多移民美国，1941年为他们全家赴美提供了经济担保。

约翰和彼得的少年堪称幸福，父母恩爱，生活富足，家有保姆和厨师，前者通常是位年轻的奥地利女士，职能之一是让孩子们精通德语。这样的好日子持续到二战爆发，很快，匈牙利境内的纳粹分子到处呼喊着反犹的口号，像拉克斯一家这样的犹太人面临着生死的关头。父母当机立断，决定全家逃往大西洋彼岸。好在拉克斯医生有来自北美的病人和朋友。之前某年有位美国人来访匈牙利时突发疾病，是拉克斯医生救了他的命。他和前述的莫尔纳尔一样也寄来了经济担保书。此外，美国驻布达佩斯的总领馆领事曾是医师的病人，及时伸出了援助之手。1941年11月25日，拉克斯医生夫妇拿到了赴美签证，当日就带着两个儿子上了火车奔赴葡萄牙的里斯本，在那里待到12月5号全家乘船前往纽约，这是之后四年中离开欧洲的最后一条美国客船。

冯•诺伊曼的传奇故事之一是：六岁时，他就能表情奇怪地心算八位数的乘除。大他二十二岁的“老火星人”冯•卡门则在自传《风与彼岸》（The Wind and Beyond）中披露过自己六岁时可以进行“大型心算”，例如六位数的乘法，并对一次由哥哥导演的家庭派对中唆使他速算献技，以及对教育家父亲的及时纠偏，有过传神的描绘。与这些天赋异禀与众不同者一样，拉克斯从小就展现出对数字的敏锐，预示着将来也会步他们的后尘。

少年拉克斯对数学表现出兴趣是在他十二岁那年。除了与生俱来的的聪慧大脑外，作为以工程师为职业而以数学家为内涵的舅舅对他很有影响。舅舅阿尔伯特•科恩菲尔德（Albert Kornfield）是厄特沃什竞赛的数学赛折桂者，他和数学赛亚军但为物理赛冠军的西拉德成了终生的朋友。当西拉德和爱因斯坦设计出一种新颖的冰箱时，科恩菲尔德进行了工程设计。晚年拉克斯还记得他十二岁时舅舅利用分配律教会了他为何-1乘以-1等于1。

彼得进了中学后，他的浓厚数学兴趣真正爆发。这所学校名叫明塔（Minta Gymnasium），之前的学生中有冯•卡门和后来杨振宁读芝加哥大学时博士论文的指导老师特勒（Edward Teller）。很快，发现次子数学早慧的父母请来了一位女性数学博士罗莎•彼得（Rózsa Péter）担任他的私人教师。彼得女士在1934年前姓波利策（Politzer），这是一个典型的犹太人姓氏。是她把拉克斯引入了终生献身数学的康庄大道。有趣的是老师的姓和学生的名之字母拼写完全一样，似乎意味着师徒二人早就有了“数学情缘”！

彼得博士可不是一般的数学人物，她之后成为数理逻辑领域的一名强者，被誉为“递归函数之母”，晚年作为首位女性被选为匈牙利科学院院士。但她于1927年大学毕业后，多种原因包括经济大萧条导致她竟无法获得正式工作，十八年间主要靠私人授课为生。然而毅力非凡的她却成长为世界著名的数理逻辑学家。1932年她在国际数学家大会上作了“递归函数”的报告，三年后圆满答辩博士论文，1936年再度在国际数学家大会上作“高阶递归”的演讲。彼得博士写了两本很有影响的书，一本是《递归函数》（Recursive Functions），为本领域的世界首部著作，另一本是数学普及读本《玩转无限：数学探索之旅》（Playing with Infinity：Mathematical Explorations and Excursions），主要内容涉及数论和逻辑，此书已被翻译成包括英文在内的十几种语言。彼得博士影响了少年彼得一辈子。对于这位数学引路人，拉克斯回忆道：

“罗莎•彼得真棒。她沉浸于数学，感兴趣于人们怎样思考。那时我十二、三岁，她做的第一件事是让我读汉斯•拉德马赫和奥托•特普利茨合写的《数学欣赏》（The Enjoyment of Mathematics）。”

今日，甚至数学系的部分大学生乃至研究生，完全消化德国数学家拉德马赫（Hans Rademacher）和特普利茨（Otto Toeplitz）的这部出版于1930年的数学普及名著可能感到困难，但是拉克斯在老师的指导下读得津津有味。这本脍炙人口的经典作品振奋了许多有科学理想的青少年，培养出他们对数学推理的热爱，也加速了拉克斯的超前成长。彼得老师不是仅仅满足于灌输小彼得书中的数学知识，而是在共同读一个证明前有时会激励他“你能自己证明吗？下周来时试一下吧”。此外，老师还带他去参加数学学会的会议听学术演讲，他成了参会者中最年少的一位。

这种训练结下了丰硕的果实。1940年，彼得博士让年仅十四岁的拉克斯非官方地参加了厄特沃什竞赛，因为他非高中生而不够资格注册参加。正式参赛者们坐在封闭的房间里进攻那三道竞赛题，许多铩羽而归。拉克斯拿到题目后回到家，三道题完美解答。第二年他再次非正式参赛，同样做对了所有的三道试题，成了数学竞赛的“无冕之王”。那年深秋他们全家人逃离祖国前往美国，一个数学小神童将在新的大陆茁壮成长。

拉克斯离开匈牙利前，柯尼希教授和彼得博士分别给普林斯顿高等研究院的冯•诺伊曼和斯坦福大学的赛格两教授各自写了信，请他们关注十五岁少年的非凡潜力。赛格的太太是拉克斯母亲的第一代表亲，两家在匈牙利就常往来，赛格自然会关照这个数学早熟的小亲戚。柯尼希给冯•诺伊曼的信是用母语写的，日期为1941年11月12日，其主要内容的中文翻译如下：

“我与年轻的彼得在数学领域接触已有一年多。通过与他的私人交谈以及他所做的计算工作（包括解决基础数学问题），我确信这位年轻人拥有非凡的数学天赋。例如，连续两年，他在数学和物理学会的竞赛中，都以远超正式参赛学生的水平完成了任务。如果能够进一步培养和支持这位杰出的人才，这不仅符合彼得的利益，也符合整个社会的利益。因此，我恳请您，如果彼得•拉克斯向您提出问题或寻求建议，请您以对待未来科学家应有的善意回应他。”

美国的成长岁月

抵达美国后，拉克斯全家很快与赛格家联系上，也和冯•诺伊曼接触了，后者特地到他们家会面。定居纽约后，拉克斯进了史岱文森高中（Stuyvesant High School）读书，但在那里他从未修过一门数学课，因为这些课对他而言实在太初等。然而，他必须花大量的时间学习英文。还在读高中时，长他十三岁的祖国同胞埃尔德什（Paul Erdős）邀请他访问了普林斯顿高等研究院，还特地向爱因斯坦介绍他是一位前途无量的匈牙利年轻数学家。爱因斯坦问：“为什么是匈牙利人？”果然，两三年后拉克斯一生中发表的首篇数学文章，解决了埃尔德什的一个猜想，证实埃尔德什之前的断言不假。

十七岁那年，拉克斯高中毕业，被免除了服兵役，但他将进入什么大学呢？

因为受到祖国数学家朋友的重托，冯•诺伊曼对翩翩少年拉克斯颇为关心。建议他读完高中后去找自己在泛函分析算子环领域中的合作者、哥伦比亚大学教授默里（Francis Murray），但赛格却建议他去投奔纽约大学教授柯朗（Richard Courant），因为他不仅善于同年轻人一起工作，而且在那里建立了一个研究部门，试图将它建成具有自己于1929年创办的哥廷根大学数学研究所那样风格的机构。这让拉克斯兴奋不已，认为“这是最好不过的建议”，马上照办。

于是，拉克斯先在纽约大学就读了三个学期。他成了明星学生，比如，在注册修的一门复分析课程结束前，他却成了该课的“讲师”。身材高大长相英俊的他也在课堂里遇见了他未来的太太安妮莉•卡恩（Anneli Cahn），不过长他四岁的她那时还是别人的太太。

然而，在完成学业之前，拉克斯被征召入伍美国陆军。不久他被送到得克萨斯农工大学继续深造，随后又被派往橡树岭国家实验室，继而进了洛斯阿拉莫斯的原子弹曼哈顿计划。在那里他从计算器操作员干起，但最终转向于更高级的数学研究。1944年，他发表了一生中的首篇学术论文Proof of a conjecture of P. Erdős on the derivative of a polynomial（《对埃尔德什关于多项式导数的一个猜想的证明》）。根据谷歌学术网页上的记录，该文迄今为止已被引用了五百多次。

二战结束后，拉克斯在洛斯阿拉莫斯又待了一年，同时在新墨西哥大学修课，然后又去斯坦福大学塞格和波利亚处学习了一个学期。1946-1947学年，他回到纽约大学，把从四所大学总共获得的学分加起来，于是当年毕业。拉克斯留在了纽约大学攻读研究生学位，导师为德裔数学家弗里德里希斯（Kurt Friedrichs），于1949年获得博士学位，博士论文是Nonlinear System of Hyperbolic Partial Differential Equations in Two Independent Variables（两个独立变量的非线性双曲偏微分方程组）。一百年前，弗里德里希斯在哥廷根大学接受了希尔伯特精神的熏陶，并在大卫•希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）的优秀弟子柯朗的指导下撰写了博士论文。在于1931年担任布伦瑞克工业大学数学正教授后不久，因与之恋爱的姑娘为犹太人，1937年弗里德里希斯和未婚妻双双分头逃到纽约结婚，然后他立刻加盟较他们早四年抵达美国并在纽约大学任教的昔日导师，为柯朗数学科学研究所的发展壮大立下汗马之功，并为之效力四十年，获得过国家科学奖，和太太的美满爱情也持续到生命的终点，并生育了五个孩子。

拉克斯和安妮莉于1948年结婚，以他的导师为楷模，他们恩爱一生，共同生活到金婚之年，直至太太去世。爱情的结晶是两个儿子；约翰尼（Johnny Lax）与吉米（Jimmi Lax），前者成了历史学家，七十年代中期任教于美国第一家女子学院——曼荷莲学院（Mount Holyoke College），不幸在三十二岁那年驾车去胡佛总统图书馆途经芝加哥时，被一醉汉司机撞死。同年，痛失爱子的拉克斯夫妇在曼荷莲学院建立了永久性的约翰•拉克斯纪念讲座。

安妮莉去世后，拉克斯迎娶了柯朗的小女儿、乐团首席中提琴手洛里•伯科维茨（Lori Berkowitz,1928-2015），后者于1954年所嫁的伯科维茨（Jorome Berkowitz）聪明绝顶，在拉克斯之后出身同一师门，也留在同一研究所任教。柯朗的大女儿、生物学博士格特鲁德（Gertrude C. Courant）则嫁给了德裔美国数学家莫泽（Jürgen Moser），他也曾在柯朗数学科学研究所任教，当过三年的所长，并于1995年荣获了沃尔夫数学奖。如果联想到柯朗本人娶了哥廷根大学应用数学教授龙格（Carl Runge；就是常微分方程数值解中的“龙格-库塔方法”术语中的那个龙格）之女为妻，这个两代数学家之间的“翁婿关系”传统被他的女儿们发扬光大了。我相信，洛里的音乐细胞结合彼得的数学细胞，无疑给老年的拉克斯夫妇带来了生命的新乐章！

二十三周岁上被人称为“博士”的拉克斯，没有忘记他在事业起步时待过的宝地洛斯阿拉莫斯国家实验室，于1950年再度返回那里工作了一年。第二年，他回到了纽约大学柯朗数学科学研究所担任助理教授，从此他再也没有离开过纽约城和纽约大学，除了学术访问世界各地。1958年，他晋升为正教授，从1972年到1980年，他担任过八年的柯朗数学科学研究所所长。

拉克斯的科学人生成长史是天才基因、名师指点加上个人奋斗的嫁接果实。少年时代巧遇彼得博士而被精心栽培成可造之材，青年时代被一代巨匠弗里德里希斯带进了偏微分方程理论与算法的广阔天地，在之后大约一个甲子的科学活动中，他的累累数学成果，震撼了科学世界，获得了几大国际奖励。在进入下一节专门介绍拉克斯的主要学术贡献前，我们先来列举一下他被授予的主要奖项，由此可以想象他在整个数学界的名望和地位。

基于研究：1975，诺伯特•维纳奖；1983年，美国国家科学院应用数学和数值分析奖；1986年，美国国家科学奖；1987年，沃尔夫数学奖；1992年，斯蒂尔奖；2005年，阿贝尔奖；2013年，罗蒙诺索夫金质奖章。

基于写作：1966和1973年，莱斯特•R•福特奖；1974年，肖维内奖。

冠名讲座：1969年，冯•诺伊曼讲座；1972年，赫尔曼•韦伊讲座；1973，赫德里克讲座；2007年，乔赛亚•威拉德•吉布斯讲座。

此外他是下述科学院的院士或外籍院士：美国国家科学院；美国艺术和科学院；法国科学院；苏联科学院；匈牙利科学院；中国科学院。他是全世界十一所大学的名誉博士，包括北京大学（1993）。

拉克斯的数学成就

因为是计算数学专业出身，笔者将首先介绍拉克斯对数值分析领域最著名的贡献——“拉克斯等价原理”，这是关于求解偏微分方程数值解三个概念相容性、稳定性和收敛性之间关系“放之四海而皆准”的一条基本原理，故有时被称为“数值分析基本定理”。它出自拉克斯与美国物理学家和数学家里希特迈尔（Robert Richtmyer）于1956年在《纯粹与应用数学通讯》上发表的论文《线性有限差分方程稳定性综述》（Survey of the stability of linear finite difference equations），故也被称为“拉克斯-里希特迈尔等价原理”。

解微分方程的差分方法基本思想是用差商取代导数，将给定的微分方程转化成代数方程组，其未知元是原先连续方程的解在离散网格点上的函数值。大致来说，相容性要求的是差分方程对微分方程的“良好逼近”，稳定性指的是当网格尺寸越来越小时，对应的差分格式的解不会“崩溃”，收敛性则表示当网格尺寸趋向于零时，差分方程的解“收敛”到之前微分方程的精确解。

这三个概念之间的关系如何？做计算总绕不开“舍入误差”，比如知道圆的直径算出它的面积永远算不出精确值，原因就在于圆周率这个无限不循环小数无法精确用上。在拉克斯-里希特迈尔文章出笼之前，许多计算数学家认为，不稳定数值格式的崩溃是由于舍入误差的放大。在洛斯阿拉莫斯国家实验室，拉克斯听了一个报告，演讲者也明确肯定了上一句断言，并强调：如果有一台有无穷精度（即圆周率也可以被精确表示）的计算机，那么甚至不稳定的格式也会收敛！

在这个比较流行的观点下，数值分析学者认为，为了确认格式的有效性，必须同时证明稳定性和收敛性。然而，拉克斯等价原理指出：求解线性偏微分方程，一个相容的数值逼近格式是收敛的当且仅当它是稳定的。这个定理的价值在于它否定了不稳定格式的收敛性，纠正了之前的一种错误认识。然而，如此重要的结论，其仅有大概一页长的严格的数学证明仅仅基于泛函分析中“一致有界原理”或与之等价的“闭图像定理”，是抽象分析学结果的一个直接应用。在那个时代，很少有计算田地的耕耘者熟知闭图像定理，而这正显示了拉克斯的强项：将纯粹数学的思想用于解决实际问题。拉克斯在三十岁时展现给世人的这项工作，也隐含了一个关键性的理念：要想在计算数学做出有影响力的工作，纯粹数学的根基很起作用。这一点纯数学功力深厚的计算数学家冯康早就对他钟爱的学生提醒过，如同鄂维南教授于登在《数学文化》上的文章中所回忆的那样。顺便一提，拉克斯教授对冯康教授很推崇，冯先生去世后，他撰写的悼文高度评价了逝者对计算数学的创造性发展。

相容性加上稳定性这一差分格式收敛性的充分条件，不仅适用于偏微分方程数值解这个计算数学的主战场，而且也对数值求解巴拿赫空间的算子方程有效。比如在计算遍历理论领域，数值计算一类无穷维线性算子的不动点是一个基本的课题。这种算子称为弗罗贝尼乌斯-佩隆（Frobenius-Perron）算子，对于其不动点方程的经典的乌拉姆逐片常数法或其高阶推广的马尔科夫有限维逼近法，证明算法在可积函数空间内的范数收敛性，一个常用并可行的办法就是论证该数值方法的相容性和稳定性。如此处理出现在笔者的博士论文导师李天岩教授于1976年发表的对一簇区间映射证明乌拉姆猜想的论文里，在那里用于稳定性推理的数学概念是单变量函数的变差。

上面讲的是拉克斯在偏微分方程的计算方面做出的贡献，它具有基本的重要性，因而最广为人知，并且早已写进数值分析的标准教科书中。他对于偏微分方程领域影响力巨大的一项纯理论性研究在1957年问世：《振荡初值问题的渐近解》（Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems），刊登在纯粹数学名刊《杜克数学杂志》上。我们引用拉克斯对此项工作的三句话来领略一下这篇文章对之后理论及数值研究的重要性：“It is a micro-local description of what is going on. It combines looking at the problem in the large and in the small, and that gives it its strength. The numerical implementation of the micro-local point of view is by wavelets and similar approaches, which are very powerful numerically.”（它是对正在发生的事情的微局部描述。它结合了从宏观和微观两个角度来看待问题，这赋予了它强大的力量。微局部观点的数值实现是通过小波及其类似的方法，这些方法在数值上非常强大。）

文章中的“微局部”思想，后来被瑞典数学家、1962年菲尔兹奖得主霍尔曼德尔（Lars Hörmander）等人推广，构成了一门新学问“傅里叶积分算子微积分”。拉克斯的博士导师弗里德里希斯以及在柯朗数学科学研究所的同学、同事和亲密朋友尼伦伯格（Louis Nirenberg）也位列其中，他们发展出了“伪微分算子”这一通过傅里叶变换的微分算子推广物。这个术语也广称为“微局部分析”。

拉克斯对纯粹数学与应用数学的多个学科深入探索过，硕果累累。在二十年前出版（八年后重印）的两卷本《拉克斯论文选集》，由著名的纯粹数学家萨纳克（Peter Sarnak）和应用数学家马伊达（Andrew Majda）联合编辑。选集包括了九个部分：偏微分方程；偏微分方程的差分逼近；双曲守恒律系统；可积系统；欧几里得空间内的散射理论；自守函数的散射理论；泛函分析；分析；代数。它们分属纯粹数学和应用数学，必须要请这两个领域的各自名家来编辑成书。该书从拉克斯自1944年到2003年几乎六十年中发表的一百五十八篇研究论文中，选择了五十八篇。

在维基百科关于拉克斯的条目中，列出了以他名字命名的数学术语，除了前述的等价原理外，还有拉克斯-米尔格拉姆定理、拉克斯-弗里德里希斯方法、拉克斯-温德罗夫方法、拉克斯-温德罗夫定理、伯林-拉克斯定理和拉克斯对。1954年证明的拉克斯-米尔格拉姆定理属于泛函分析，为希尔伯特空间上的某些泛函提供了弱形式，对偏微分方程的理论和计算特别有用。拉克斯-弗里德里希斯方法和拉克斯-温德罗夫方法都是用于双曲型偏微分方程的差分方法，而拉克斯-温德罗夫定理说如果双曲守恒律系统的保守数值格式收敛，那么它就会收敛到弱解。伯林-拉克斯定理分别由瑞典数学家伯林（Arne Beurling）于1948年和拉克斯于1959年发现的，它刻画了哈代空间的平移不变子空间。拉克斯对是可积系统中的一对与时间相关的矩阵或算子，它们满足相应的微分方程（称为拉克斯方程），是他在研究孤立子时引进的。

拉克斯在做出杰出工作的散射理论和激波这两个纯粹数学和应用数学学科中留下了专著，其中对散射理论他写了两本书，它们都是和泛函分析名家菲利普斯（Ralph Phillips）合著的，分别为1967年出版、1989年修订再版的Scattering Theory（散射理论）和1976年出版的Scattering Theory for Automorphic Functions（《自守函数的散射理论》）。数学史上德国人克莱因（Felix Klein）同法国人庞加莱（Henri Poincaré)暗地里竞赛研究自守函数，最终因身体透支而败下阵来，可见这是挑战过人类高智商人物的一个学科。拉克斯和菲利普斯能将具体欧氏空间的散射理论推广到更加抽象的散射理论，实属非凡的创造。

这里笔者想插入读南京大学本科时的同班同学魏木生的一段学术经历，因为这与拉克斯做出杰出贡献的散射理论直接相关。魏木生1963年考进江苏省名校常州高级中学的试点班，学习成绩稳居年级前三，尤其在数理化上一直是独占鳌头。高二时华罗庚教授视察该校，听说到这个“数学小才子”，便出了几道题小试了他，随后称赞道“是一棵数学苗子”。然而魏木生没有拉克斯幸运，1966年开始的“文化大革命”让这位六六届高中毕业生在失学十一年后，才通过恢复高考而以七七级一员考进了南京大学数学系的计算数学专业。他和笔者的其他同学高考前后的成长历程以及大学课堂内外的生动故事被笔者写进了《南大数学七七级》，此书2025年由新加坡世界科学出版集团旗下的八方文化创作室出版。

魏木生以江苏省唯一的初等数学正题和高等数学附加题双满分，成为七七级高考江苏省统考数学单科第一名。本科四年，他的数学成绩继续保持班级领先，毕业时被公费派往布朗大学应用数学系攻读博士学位。他的博士论文指导老师有两位，其中一个马伊达（George Majda）的哥哥就是上面提到过的拉克斯论文选集的编辑之一、国家科学院院士安德鲁•马伊达；第二位导师是斯特劳斯（Walters Strauss）。这两位教授分别从事偏微分方程数值解和偏微分方程理论的研究，魏木生的博士论文论题是带紧致位势的波动方程的散射频率的数值计算。散射理论在这之前的七十年代，由于拉克斯等人的开创性工作，已经成为非常热门同时又是难度极大的数学问题。

那时国际上尚未有人开垦过魏木生博士研究选题的领域，他的导师和拉克斯教授交流了魏木生的研究思路，后者对散射波的数值渐近解提出了一个问题。经过一年半的仔细推敲、分析和计算，魏木生采用自己提出的几个关键思路，成功地计算出若干主要的散射频率，计算结果与理论频率高度吻合，并圆满解答了拉克斯关于数值渐近解的上述问题，解惑了最初的疑问。他于1986年春答辩的博士论文，得到拉克斯的高度评价。第二年当魏木生在明尼苏达大学数学及应用研究所做博士后时，他见到了来访的拉克斯教授，后者祝贺他做出了一项很好的工作，并给他写了一封热情洋溢的推荐信。或许这封强有力的信让魏木生于1988年一做完在密歇根州立大学的博士后研究按时回国后，落脚的华东师范大学数学系马上聘他为副教授。

魏木生在拉克斯散射理论的指引下写出了一篇有开创性意义的博士论文，他计算散射频率的方法被他人成功地用于天体物理中黑洞问题的研究。此外，由于在计算过程中用到亏秩的矩阵，在著名数值代数学家、美国国家科学院和工程院院士、斯坦福大学教授戈勒布（Gene Golub）的鼓励下，他开启了亏秩矩阵最小二乘问题摄动理论的研究，引导了一批人进入了一般矩阵和无穷维线性算子的广义逆摄动理论这个新领域。广义来看，这些都是拉克斯巨大学术影响力所带来的结果。

拉克斯于1973年由美国工业与应用数学学会出版了一部包含激波理论的专著Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves（双曲守恒定律系统和激波的数学理论）。之后的几十年间，激波计算成为科学计算领域中的一个重要组成部分。

拉克斯对纯粹数学和应用数学的双重贡献也体现在对博士研究生的培养上。从1953年到1996年的四十三年间，他指导了五十多篇博士论文，其中理论性研究与应用性论题约各占一半。他的博士生中后来成为知名数学家的不乏其人，如现已九十五岁的应用数学家温德罗夫（Burton Wendroff）及计算流体力学家肖林（Alexandre Chorin）。在还健在的计算数学界名人中，奥舍尔（Stanley Osher）和肖林同年同地拿到博士学位，但如同拉克斯所说：“Stanley Osher was really my student, although he did his Ph.D. with Jack Schwartz. I got him interested in numerical calculations.”（斯坦利•奥舍尔其实是我的学生，尽管他的博士学位是在杰克•施瓦茨名下的。我让他对数值计算产生了兴趣。）拉克斯深刻影响了奥舍尔，后者是著名计算数学家舒其望的博士导师，舒教授现在是布朗大学的杰出讲座教授。拉克斯于1971年带出的纯数学博士鲍赫（Jeffrey Bauch）在密歇根大学从事偏微分方程的理论研究，其他那些比较有名的纯粹数学家我就不列举了。

科学计算的主要推动者

四十余年前，在电子计算机的运算能力越来越强、应用范围日趋广泛之际，一个新词组“科学计算”应运而生。很快，美国的许多大学纷纷建立起相应的跨学科研究生专业，名称从“科学计算”到“计算科学”不等。笔者任教多年的南密西西比大学也在八十年代末新增了科学计算博士点。在新世纪到来之前，“科学计算”已成美国科学和工程界不时被人提及的热词。

“科学计算”这一术语的创造者是以拉克斯为首的一个由不同学科专家组成的国家委员会。在人们日益认识到计算机在解决复杂科学和工程问题方面的潜力之背景下，在美国国防部、能源部、国家科学基金会及国家航空航天局等单位主导下，1982年该委员会向美国政府提出的《科学与工程大规模计算小组报告》（俗称“拉克斯报告”），强调“科学计算是关系到国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家命脉的大事”。它同时也尖锐地指出：大学缺乏超级计算设施，无法使用超级计算机的科学家正在回避需要计算能力的问题，这将危及美国科学家在某些研究领域的领导地位。《拉克斯报告》评估了大规模计算的现状并提出其发展战略，它的建议包括增加科学计算研发资金、开发新型超级计算机系统、建立大型国家计算中心。这是科学计算史上的一份关键文件，为超级计算机在各个科学和工程学科的广泛应用铺平了道路，对天气预报、材料科学等重要领域产生了巨大影响，并对全世界的计算科学和工程继续产生了深远影响，在当今的人工智能及大数据时代依然具有现实意义。

里根总统领导下的美国政府采纳了拉克斯教授领导下的专家委员会的建议，从1985年起连续五年每年投入五千万美元，建立了五个科学计算研究中心，还配备了超级计算机，并设立了全国性的网络，以协助各大学及研究机构进行科学计算方面的研究。到了1987年，在国家科学基金会的财政预算中，又把科学计算作为特别扶持的三大重点项目之一，以强力支持科学计算研究中心的建立及加强各学科中科学计算的力量。

与此几乎同时，太平洋彼岸掀起的科学计算浪潮，波浪滚滚地席卷而来，快速抵达大洋的另一岸。北京中国科学院计算中心的国内计算数学界主帅、中国科学家中的“拉克斯”式将才冯康早已清晰地认识到，国家虽然早在《1956- 1967年全国科学技术发展远景规划》中就已经将计算数学列为重点，但始终不及西方发达国家尤其是美国那样重视大型计算，甚至在1986年中国制定“七五”高科技发展规划时，初稿中也没有列入发展科学计算等应该列入的相关内容。为此，高瞻远瞩的他忧心忡忡。一旦了解到《拉克斯报告》这一重要信息，冯康当即联合北京应用物理与计算数学研究所的周毓麟等老一辈计算数学家，于1986年4月22日写了一份“紧急建议”，递交给国务院有关领导。

在这份建议中，冯康将《拉克斯报告》中的重要内容翻译成中文，作为建议书的附件上交。这份“紧急建议”很快引起了国务院领导的关注。一位副总理特别约见了冯康和周毓麟，两名数学家当面陈述了中国发展科学计算的重要意义。不久，国家采纳了他们报告中的建议，并在国家“七五”高科技发展规划中加入了发展科学计算的内容，使其在国家科学发展规划中获得了应有的重要地位。

冯康和周毓麟抓住机遇，乘势而上，一鼓作气，连同清华大学教授赵访熊、北京大学教授应隆安等人致信副总理，提出成立科学计算国家重点实验室的建议，提出科学计算实验室的三项主要任务：从事大规模科学和工程计算方法的基础研究；培训高级科学计算人才；吸引留学生回国工作，促进国际合作交流。这些建议都获得了中央政府的采纳。

1991年，首批国家重点实验室成立，其中包括冯康担任首任主任的“科学与工程计算国家重点实验室”，这个以理论研究为主线的重点实验室，在偏微分方程数值解、流体力学计算、并行算法等方面做了系统的研究。同年，国家科委组织的国家基础研究重大关键项目——“攀登计划”启动，冯康建议的“大规模科学和工程计算的方法与理论”被包含在该计划首批十一个项目中，他也被任命为“攀登计划”的首席科学家。冯康教授曾简洁地道出科学计算的地位：理论、实验、计算是三足鼎立的科学研究方式。国家重点实验室的建立与“攀登计划”的入围，显示出中国老一辈计算数学家的深思远虑和战略眼光。在他们的推动下，中国的科学计算研究人才辈出，步入了这一研究领域的世界先进行列。

而在中国产生的这一切丰硕成果，一个激励点就是拉克斯挂帅的关于科学计算的那篇不朽报告，它是他留给全世界科学技术事业的一份“计算遗产”。

普及数学的先锋

拉克斯不局限于只当数学科学家，而且终其一生还是个积极的数学教育家，写了好几本极受欢迎、风格独特的教科书，范围广博，从微积分、线性代数到泛函分析都有。他的书也教得很好，和他的前辈冯•卡门一样广受称赞，这和科学史上一些“会研究但不会教书”的著名人物如牛顿不一样。他获得的众多奖项中包括1995年纽约大学授予他的杰出教学奖。此外，他为美国数学协会的旗舰普及杂志《美国数学月刊》（The American Mathematical Monthly）写了好几篇阐述性文章，其中的一篇笔者曾经读过，将在本节后面作一简要介绍。

拉克斯写教科书的一个动因是对同类教材的不甚满意，于是决定亲自出马。照理说，像他这样的创造型大学者，对写教材这类事，尤其是像微积分这样的“初等教科书”，不必劳驾自己下山操刀了，况且研究家们大都在忙于研究，很难挤出时间写作大学生读物。比如说李天岩教授生前没有写过一本书，即便在三十年多前他曾计划过出版一本关于单位区间上自映射的遍历理论及计算著作，为此还于1988-1989那个学年在任教的密歇根州立大学数学系开过同名课程以备写书，但计划最终还是搁浅，因为他一直忙于研究而无暇顾及。另一方面，许多热衷于写大量学生使用的大学低年级教科书的教授或许在创造知识方面已经到了“江郎才尽”的地步，往往写出的作品按部就班，缺乏新意，其效果就像不会教书的老师那样客观上对学生帮助不大。

这里仅以拉克斯出版的《线性代数》（Linear Algebra）研究生教材为例，试图梳理一下他对教科书写作的理念。此书假定读者已经修过线性代数的初级课程，教本中包含了若干线性代数一般教科书内难得见到的材料，并有许多物理应用。

几十年来，有两类线性代数的教材，一种可视为“有限维空间的泛函分析”，这种充满集合论语言的写作风格，以年轻时当过冯•诺伊曼助手的匈牙利裔美国数学家哈尔莫斯（Paul Halmos）的经典名著《有限维向量空间》（Finite Dimensional Vector Spaces）为代表，并被他的博士的博士阿克斯勒（Sheldon Axler）已出好几版的畅销书《线性代数应该这样学》（Linear Algebra Done Right）所继承。另一种则以矩阵为工具，以计算为特色，展现了许多与求解线性方程组相关的技术和定理。前者可能对训练未来的分析数学家有益，应用学科的学生可能更钟情后者。看来写出一本取材合适、各类受众均满意的线性代数书，非易如反掌之事，需要深思熟虑，统筹考虑。

认识到线性代数在高速计算机时代“线性数值分析”中越发重要的作用，拉克斯在他的《线性代数》中放进了不少对当代科技发展十分有用但在其他教材中鲜为人知的“分析结果”，并插入了许多物理应用诠释这些理论。他在该书的导言中坦诚指出，“线性代数美妙之处，对分析学家和物理学家如此有用，却经常在教科书中被忽略”（The beautiful aspects of linear algebra, so useful for working analysits and physicists, is often neglected in texts）。他的目的是减少理论与应用之间的失衡，用纯粹数学之手，写出应用数学之书。

一篇刊登在2001年十一月期《美国数学月刊》上的书评这样写道：“I think that it has a place on every mathematician’s bookshelf. The proofs are direct, novel, and elegant, and the presentation inspires one to rethink material that has sometimes become too routine.”（我认为这本书值得在每个数学家的书架上都占有一席之地。它的证明直接、新颖、优雅，其呈现方式也启发人们重新思考那些有时过于千篇一律的内容。）

已经出版超过一百五十本书的分析数学家克兰茨（Steven G. Krantz），对拉克斯于2002年出版的另一本研究生教科书《泛函分析》（Functional Analysis），在SIAM Reviews（《工业与应用数学会评论》）上发表的书评是：“The student learning from this book will garner a real education-not just in basic functional analysis but in analysis as it is actually practiced. This book has real power and authority just because it is written one of the masters who helped to develop these ideas over the past 60 years.”（本书的学习者将获得真正的教育——不仅在基础泛函分析方面，更在实际的泛函分析实践方面。本书之所以具有真正的力量和权威，是因为它是由一位在过去六十年中推动这些思想发展的大师所著。）

因其出色的阐述性写作，拉克斯于1974年荣获美国数学协会的肖维内奖（Chauvenet Prize），这是专司大学生数学教育的全国性学术团体每年颁发的最高写作奖。他发表于《美国数学月刊》的文章被这个全世界读者人数最多的数学杂志授予莱斯特•R.福特奖（Lester R. Ford Awards；现改名为Paul R. Halmos-Lester R. Ford Awards）两次。第一次是在1966年，获奖的文章是《偏微分方程的数值解》（Numerical solutions of partial differential equations），第二次是在七年后，获奖文章为《激波的形成和衰减》（The formation and decay of shock waves）。这两篇文章我没有读过。下面笔者仅仅介绍他为《美国数学月刊》撰写的另一篇文章，由此可见拉克斯教授即便在早已功成名就的花甲之年，依然不忘为全世界热爱数学的读者们端上一盘美味的科普佳肴。

垂足三角形是平面几何中的一个术语。任给一个三角形，从它的每个顶点作其对边的垂线，由此得到的三个垂足决定了一个新的三角形，称为原先三角形的“垂足三角形”。如果原先的三角形是锐角三角形，那么它的垂足三角形位于其内，若原先的三角形有一个钝角，则它仅包含了垂足三角形的一部分，而当原先的三角形为直角三角形时，垂足三角形则退化成一条线段。

从一个初始三角形出发，依次作出一个接着一个对应的垂足三角形，形成一个无穷序列。这个过程类似于逐次迭代一个代数函数，只不过迭代的对象由数变成了图形。如此得到的一系列三角形，形状会怎么变化呢？最终的形状又可能会是怎样的？是规则的有序趋近还是无规则的无序变化？垂足三角形迭代第一次是由剑桥大学数学教授霍布森（Ernest Hobson）在1891年出版的《三角学教程》中引进的，但他或许没有预测到在现代数学分支“离散动力系统”中，它与“混沌”概念也挂上了钩。事实上，中国人郭永怀、钱伟长和林家翘于上世纪四十年代初留学多伦多大学时的硕士导师辛格（John L. Synge），在他活到九十二岁时的1989年，与人合作在《美国数学月刊》上发表了文章，专门研究垂足三角形迭代的周期点问题；比如说，如果初始三角形的三个内角为43°,44°和93°,迭代七次后的垂足三角形也具有同样的形状，换句话说，迭代过程有一个周期为七的点。

写一篇关于垂足三角形迭代最终行为的阐述性文章很适合《美国数学月刊》的主要读者群——大学生。当拉克斯读到辛格的上述文章后，凭借杰出的才智，很快构思了一篇新文章The ergodic character of sequences of pedal triangles《垂足三角形序列的遍历性》，文章第二年刊登在《月刊》第九十七卷第五期上。

遍历理论是纯粹数学的一门综合学科，凝聚着许多分支的内涵，如测度论、群论、抽象代数、拓扑等。然而笔者那年在李天岩教授讲了一学年的《[0,1]上的遍历理论》的课堂上，听他说了一句惊人之语：邓福德（Nelsen Dunford）和施瓦茨（Jacob Schwarz）的书Linear Operators Part I：General Theory（《线性算子第一部分：一般理论》）本质上讲的是遍历理论。确实这本大书的最后一章内容就是遍历理论，而之前的各章都在为它做铺垫。奇怪的是一般的泛函分析教科书，比如在我修过的学年研究生课程《高等泛函分析》中，阿克斯勒教授采用的参考书之一康威（John Bligh Conway）的那本标准教材，没有涉及遍历理论。或许它一般不被认为是泛函分析的部分而是“专题应用”。

然而，天赐良机让拉克斯教授碰到一个具体的模型——对应于构造垂足三角形的平面上标准直角三角形区域的自映射，它是区间上的帐篷函数的二维推广。通过对它的迭代分析，用大学生能理解的微积分语言，拉克斯向他们证实，垂足三角形的迭代过程是“遍历”的，即相应的那个二维帐篷映射的迭代点进入定义域内任一子区域的频率就等于这个子区域的面积除以定义域的面积。读者们从拉克斯的初等语言表述论证中，理解了遍历理论的基本概念。

拉克斯与他的前辈同胞科学巨人冯•诺伊曼在许多方面很相像。他们都是公认的数学奇才，在数学的多个领域留下深刻的印记，都脚踏纯粹数学与应用数学的“连环大船”，乘风破浪，所向披靡。上世纪前半叶，冯•诺伊曼先以纯粹数学的三大成就——平均遍历定理、量子力学的数学基础和算子环论驰名天下；一旦他置身于原子弹研制等战时研究，他立刻华丽转身为杰出的应用数学家，并且与费米（Enrico Fermi）、乌拉姆（Stanislaw Ulam）等人开创了“非线性分析”这一覆盖面广泛的应用领域；当他的智慧传输给了电子计算机而形成“冯•诺伊曼体系结构”，他被人们誉为“电子计算机之父”，而当他最早就线性方程组数值计算而提出条件数概念以及对微分方程离散计算方法稳定性的分析，他的身份则又添上了“领头计算数学家”的标签。可以说，他是上世纪的一代全能数学家，在他的眼里和在他的实践中，所谓的“纯粹”“应用”和“计算”三大限定性形容词统统都是数学界人士给自己套上的精神枷锁甚至职业桎梏。

拉克斯对冯•诺伊曼佩服得五体投地，多次在写作或演讲中提及他的天才和洞见。《数学家彼得•拉克斯》书末的附录二就是他于2005年撰写的回忆文章John von Neumann: The early years, the years at Los Alamos, and the road to computing《约翰•冯•诺依曼：早年经历、在洛斯阿拉莫斯的岁月以及计算之路》。某次当他谈论冯•诺伊曼的科学通信时，这样写道：“要衡量冯•诺伊曼的成就，不妨想象一下，如果他能活到正常的年龄，他肯定会获得诺贝尔经济学奖。如果诺贝尔奖设立计算机科学和数学奖，他也会获得这些奖项。因为他在物理学，尤其是量子力学方面的贡献，这些信件的作者应该被认为是三项诺贝尔奖得主，或者可能是三个半诺贝尔奖得主。”

至于拉克斯，即便从本文对他的众多数学成就极其简略的描述来看，也能轻而易举地得出结论：他几乎就是数学界的“冯•诺伊曼二世”，是上世纪下半叶继承冯•诺伊曼衣钵的新一代“火星人”。他的逝世，意味着参加过洛斯阿拉莫斯核弹研制的那批科学家中最年轻的一位，跟随并肩作战的前辈和同辈，走进了人类历史，也记载于科学史中。他留给数学的丰功伟绩和精彩人生将被人铭记，数学家们在追求数学真理、应用数学知识的大道上将继续跟随他的脚步勇往直前。

定稿于2025年8月17日星期日

参考文献

致谢：感谢本刊主编汤涛教授审阅初稿并提出修改意见。更感谢他建议作者增写“科学计算的主要推动者”一节并提供有用信息。

作者简介：

丁玖，广州南方学院数学与统计学院教授，本刊编委。

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